저번 글에 이어서 해밀턴 역학에서 중요한 개념인 정준변환에 대해서 알아보자.
우선 라그랑주역학과 해밀턴역학의 의미를 되짚어보자. 라그랑주 역학은 위치, 속도, 시간을 이용하여 물체의 운동을 기술하는 방식이었다. 뉴턴역학과 다른점은 좌표계를 일반화시켰다는 것이다. 해밀턴은 라그랑지안의 르장드르 변환을 통해서 물체의 운동을 위치, 운동량, 시간으로써 기술하였고 이것이 해밀턴역학의 물체의 운동에 대한 관점인것이다.
뉴턴역학 -> x,y,z,t (벡터방정식)
라그랑주 -> q,q',t (일반화 좌표,속도)
해밀턴 -> q,p,t (일반화 좌표, 운동량)
물체의 상태를 나타내는 q,p를 하나의 차원축으로 대응시켜 2n차원의 공간위의 한 점으로 나타낼 수 있는데 이를 위상공간이라고 부른다. 물체의 초기상태인 2n차원의 한점이 주어지면 해밀턴방정식을 따라 점이 위산공간위에 궤적을 남기며 이동하게 되고 이것이 물체의 운동상태변화를 나타내게 된다.
정준변환은 표준변환이라고도 불리며 q,p변수들을 다시 새로운 변수 Q,P로 변환시키는 것이다. 그 중에서도 새롭게 정의된 좌표계 Q와 운동량 P에의한 운동방정식이 해밀턴방정식으로 그대로 유지되는 것을 말한다.
정준변환 -> 운동방정식이 그대로 유지되는 동일한 물리계의 다른표현
그렇다면 새로운 위상변수 Q,P가 어떠한 조건을 만족해야 표준변환이 될것인가? 이에 앞서 먼저 해밀턴역학의 행렬표기법을 소개하겠다. 해밀턴 운동방정식을 기억해보면
변수 q,p를 열벡터로 묶어 다음과 같이 에타를 정의한다. 편의를 위해 우선은 2차원공간상의 운동이라 생각하자.
해밀턴 방정식을 이 표기법을 이용해서 나타내어 보면
n차원에 대해서 처음 식에 곱해진 행렬을 J라 정의하여 일반화 시키면
즉, 이 식은 해밀턴방정식의 행렬을 이용한 표현방법이다.
