해석역학(4) : 정준변환 (canonical transformation)

저번 글에 이어서 해밀턴 역학에서 중요한 개념인 정준변환에 대해서 알아보자.

우선 라그랑주역학과 해밀턴역학의 의미를 되짚어보자. 라그랑주 역학은 위치, 속도, 시간을 이용하여 물체의 운동을 기술하는 방식이었다. 뉴턴역학과 다른점은 좌표계를 일반화시켰다는 것이다. 해밀턴은 라그랑지안의 르장드르 변환을 통해서 물체의 운동을 위치, 운동량, 시간으로써 기술하였고 이것이 해밀턴역학의 물체의 운동에 대한 관점인것이다.

뉴턴역학 -> x,y,z,t (벡터방정식)
라그랑주 -> q,q',t (일반화 좌표,속도)
해밀턴 -> q,p,t (일반화 좌표, 운동량)

물체의 상태를 나타내는 q,p를 하나의 차원축으로 대응시켜 2n차원의 공간위의 한 점으로 나타낼 수 있는데 이를 위상공간이라고 부른다. 물체의 초기상태인 2n차원의 한점이 주어지면 해밀턴방정식을 따라 점이 위산공간위에 궤적을 남기며 이동하게 되고 이것이 물체의 운동상태변화를 나타내게 된다.

정준변환은 표준변환이라고도 불리며 q,p변수들을 다시 새로운 변수 Q,P로 변환시키는 것이다. 그 중에서도 새롭게 정의된 좌표계 Q와 운동량 P에의한 운동방정식이 해밀턴방정식으로 그대로 유지되는 것을 말한다.

정준변환 -> 운동방정식이 그대로 유지되는 동일한 물리계의 다른표현


그렇다면 새로운 위상변수 Q,P가 어떠한 조건을 만족해야 표준변환이 될것인가? 이에 앞서 먼저 해밀턴역학의 행렬표기법을 소개하겠다. 해밀턴 운동방정식을 기억해보면




변수 q,p를 열벡터로 묶어 다음과 같이 에타를 정의한다. 편의를 위해 우선은 2차원공간상의 운동이라 생각하자.

해밀턴 방정식을 이 표기법을 이용해서 나타내어 보면

n차원에 대해서 처음 식에 곱해진 행렬을 J라 정의하여 일반화 시키면

즉, 이 식은 해밀턴방정식의 행렬을 이용한 표현방법이다.

물리학에서의 이해

이번 연도들어서 이제는 일반상대론의 기초적인 내용에 대해서는 이해했다고 생각했었다.

그런 의미에서 친구한테도 일반상대성이론을 가르쳐주겠다고 했다. 역시나 이런 생각은 자만이었다.

내가 알고있다고 느끼는 것과 다른사람에게 흐름있게 설명해주는 것은 별개의 문제라는 것을 다시금 깨달았다.

오히려 내가 부족한 부분들이 설명을 하면서 적나라하게 드러나 굉장히 만족스럽지 못한 설명이었다.

파인만이 학부생들에게 양자역학의 한 개념을 어떻게 설명해야할지 모르겠다는 친구교수의 말을 듣고

고민했었지만 결국에는 "설명방법을 찾지못했어. 결국 이거는 우리가 이 개념을 정확히 이해하고 있지 못하다는 얘기 아닌가"

라고 했다는 얘기가 생각난다.  즉, 남한테 설명할 수 있는 수준을 이해의 기준으로 삼을수도 있겠다.

역시나 내가 한참은 부족하다는 사실을 느끼는 기회였다.

줄넘기문제

어떤 아이가 줄넘기를 하고 있다.

줄넘기의 줄은 일정한 각속도로 흐트러짐 없이 모두 같은 평면위에서 회전한다.

양끝점은 고정되어 있고 원심력에 비해 중력은 무시할 수 있는 수준이라면

줄넘기 줄이 만드는 곡선의 방정식을 기술하시오.

Finger mouse

기존 스크린 위에 설치해서 터치 스크린으로 만들 수 있겠다.

3D 홀로그램

http://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=xFgjsloidPA
http://www.youtube.com/embed/Ux6aD6vE9sk?feature=player_detailpage

PnS on QM

2주 정도 되는 길지 않은 시간이었지만 problems and solutions on quantum mechanics책 앞부분 문제를 전부 다 풀었다.

일일히 다 푼건 아니고 건너뛴 문제가 10문제정도 있기는 하지만 짧은 시간동안 굉장히 많은 문제를 풀어서 매우 뿌듯하다.

한 달 정도만에 펜 잉크 12자루를 쓴 것 보면 그동안 열심히 하긴 했나보다.

양자역학은 당분간 좀 쉬고 상대성이론하고 면접준비에 집중해야 겠다.

쉬기 전에 고전역학하고 같이 군에 대해서 정리해보는 것도 좋을 것 같다. 오랜만에 뿌듯한 하루다.

2013/08/17

가끔씩 아침에 일찍 일어나 해가 뜰 무렵 밖에나가면 자욱히 낀 안개를 본다. 이 안개가 심한 날에는 눈앞의 물체는 보이지만 내 중심으로 하얀 구가 둘러싸여 있는 것처럼 가시거리바깥의 물체는 전혀 보이지 않는다. 내가 다가가면서 서서히 보이기 시작할 뿐이다.

이렇듯 진실이란 그 상황에서는 잘 보이지 않는다. 잘보이지 않던 사실들은 시간이 지나면서 자연스럽게 깨닫게 된다. 그 순간에는 자신의 감정이 안개가 되어 깊은 진실을 내다지 못하지만 그 감정의 순간들을 지나칠수록 더욱 멀리 내다볼 수 있게 되는 것이다.

사람사이의 관계도 이러한 감정의 안개 때문에 시간이 지나서야 서로 오해가 있었음을 깨닫게 된다. 얼마나 어리석은가. 사소한 어긋남조차 큰 실수가 되어버리고는 이미 다 지나간 일에 후회하는 것이.

이런 감정의 안개를 걷어내기 위해서 나는 하루에 30분정도 명상하는 시간을 가진다. 사실 효과가 있는지는 잘 모르겠다. 하지만 분명한 것은 명상을 하는 순간만큼은 내가 자유로워진다는 느낌을 받을 수 있다는 것이다. 내가 말하는 명상이란 잡념을 없애는 것이다. 혼자서 생각하는 것과는 다르게 아무 생각도 하지 않는것이다. 그리고는 우주에 놓여진 나 자신을 있는 그대로 느낀다.

"코끼리 생각을 하지 말아라." 라고 하면 코끼리가 떠오르듯이 잡념들을 지우는 것은 생각보다 어려운 일이다. 특히나 저녁에 자기위해 침대에 누우면 이생각 저생각 저절로 떠오르기 마련이다. 몇년동안 명상을 하면서 잡념을 없애기 위한 나만의 노하우가 생겼다. 우선 코끼리같은 한가지 대상을 정한뒤, 그 대상을 강하게 떠올린다. 그러면 나머지 생각들은 자연스레 수그러들고 그 대상만이 머릿속에 남았을때, 그 대상을 지워낸다면 내 머리속은 마침내 새하얀 백지 상태가 될 수 있다. 중요한 것은 이 대상을 정하고 지워내는 반복연습이다.

주식을 함에 있어서도 이러한 감정의 역할이 꽤나 크다고 생각한다. 잠시 승리의 기쁨을 느끼고 나면 뭐든 될 것이라는 도취감에 빠지게 된다. 후에 승리의 흥분이 식은 후 생각해보면 어리석기 그지없는 행동들을 그 순간에 해버리는 경우가 초기에 있었다. 생각했던 대로 되지않는 경우에는 당황하거나 안절부절못하여 성급한 결정을 해버리는 경우도 적지않다. 몇 번의 실수를 겪고 나니 깨달은 것은 이러한 감정들을 잘 컨트롤 하기만 하더라도 꽤나 훌륭한 트레이더가 될 수 있다는 것이다. 즉, 감정에 따라 판단하는 것이 아니라 객관적인 기준에 의해서 판단하는 것이다.

이렇게 지나가는 생각을 글로 적으면서 느끼는 것은 나는 별로 글쓰는 거에 소질이 없는 것 같다. 내가 생각하는 글의 목적이란 자신의 생각이나 느낌을 전달하는 것인데(정보도) 간결한 문장으로도 느낌을 잘 전달하는 글이 있는 반면에 나는 글을 너무 추상적으로 쓰는 것 같다. 글을 쓴 나조차도 나중에 내글에 잘 공감할 수 없거나 무슨말인지 잘 이해할 수 없으니까. 어쩌면 남들이 이해하지 않기를 원해왔기에 무의식적으로 글쓰는 습관이 그렇게 발달한 것일지도 모른다. 즉, 애초에 글로써의 목적을 달성하는 것엔 관심이 없었다는 것이다. 나도 머릿속에 있는 말을 멋드러지게 써낼 수 있는 글쏨시가 있었으면 어땠을까 하는 생각이든다.