Html 블로그관리

블로그를 하면서 html쓸일이 많다. css나 java script를 포함해서.

1년전쯤에 공부하면서 언젠간 써먹을 일이 있겠지 하면서 했는데

이렇게 쓰게 될줄이야... 근데 약간 헛공부한것 같다. 기억이 하나도 안난다.

기본적인 문법에 익숙한 정도만 도움이 되는것 같다. 직접 짜는건 엄두도 못내겠다.

읽는것도 띄엄띄엄.

c나 java, phyton같은 언어는 오랜만에 해도 금방금방 기억나는데 html은 태그로 되있어서 그런지

읽기도 힘들고 기억도 잘 안난다. 옆에 블로그 목차도 인터넷에 검색해서 넣었는데 제대로 작동을 안하는데 못고치겠다.ㄷㄷ

수식배경이 저절로 하얗게 되는건 해결했는데 그림자 생기는 건 어떻게 없애야 될지 모르겠다.

이번 기회로 제대로 다시 배워봐야겠다.

Central Force Problem : Effective Potential (유효 포텐셜)

이 부분은 한국어책으로 공부한적이 없어서 한국어 용어를 잘 모르겠다.

Effective potential이 한국어로 유효포텐셜인가? 그럴 것이다.(아마도)



사실 예전에 고전역학은 힘들의 규칙과 뉴턴의 운동법칙으로 끝이라고 생각했었다.

미방을 세우고 그 미방을 푸는건 전적으로 지루한 또는 컴퓨터가 대신해줄 일이라 생각에 그랬던 것 같다.

그래서 그런지 Goldstein의 고전역학 책이 어렵다는 얘기를 들으면서 무슨 고전역학에 대해서

할 수 있는 말이 저렇게 많은가? 심지어 어렵다고?라고 생각했던 기억이난다.

(지금 다시 생각해봐도 Goldstein책은 솔직히 고전적이지 않은 내용들이 꽤 많이 나온다.)

하지만 그 미방을 푸는 방법에도 상황에 따른, 수학 이상으로 물리적으로도 의미가 충분히 있는,

그런 방법이 있다는 것을 알게 되었다. 특히나 라그랑주나 달랑베르 해밀턴이 구축한 역학체계는

완전히 새로운 것이라 말할 정도이다. 항상 이들이 가진 자연에대한 근본적인 통찰력에 감탄하지 않을 수 없다.

내가 만약 그 시대 사람이었다면 나는 '최소작용의 원리'같은건 생각지 못하고 뉴턴의 체계에

갇힌 물리적 사고만 했을 것이다. 이러한 체계적 문제말고도 물리적 센스로 미방을 푸는 테크닉들이

있다는 것도 배웠다. 그 중에 하나가 중심력이 작용하는 물체에 대한 운동을 기술할때의 유효포텐셜이다.



사실은 central force부분은 제대로 읽어본 적도 없으며 책넘기면서 effective potential 그래프랑 이름을 본게 전부다.

이 글을 쓰는 이유는 자다 일어났더니 갑자기 구심력이 작용하는 물체의 운동을 기술할 수 있는 좋은 아이디어가 생각났는데

그 아이디어가 만드는 결과를 생각하다보니 그래프가 책을 넘기면서 보던 effective potential그래프와 동일하더라.

그래서 책을 뒤져보니 내아이디어가 정확히 central force의 개념과 일치했고 이 놀라움을

글로 남기고 싶어 글을쓴다.



얘기가 너무 많이 새서 사실 수식적으로는 별 내용없는데 본 내용보다 잡소리가 더 길어진 것 같다.

이제 유효포텐셜에 대해서 알아보자.

우선 기본 상황의 가정은 포텐셜이 V(r)로 주어진 물체의 운동이다.

회전반지름 r이 만족하는 운동방정식은 다음과 같다.



즉, 작용하는 힘은 원심력과 포텐셜에 의한 힘뿐이다. 또는 극좌표의 라그랑주 방정식으로 봐도 된다.

일반물리학 수업을 들을 때, 책의 연습문제중에 고리를 막대에 끼운뒤 막대의 한쪽끝을 회전중심으로

막대 방향과 수직한 방향의 각운동량을 가지도록 일정한 각속도로 회전시키면서 고리의 속도를 구하는 문제가 있었다.

이 때 막대의 축을따라 작용하는 원심력이 일을 하는 것으로 생각하여 문제를 풀 수 있었다.

그 때와 지금의 다른 점은 그 때는 각속도가 일정했지만 지금은 시간에 따라 변한다는 것이다.

하지만 각속도는 각운동량을 보존하게끔 변한다. 즉, 초기 운동량을 J라고 한다면 다음 식을 만족한다.



물론 J는 상수이다. 이를 라그랑주 두번째 방정식의 결과로 봐도 된다.

각속도란 시간에 대한 함수이지만 시간에 대한 또다른 함수인 반지름을 이용하여 표현된다.

따라서 이를 이용하면 이전의 연습문제를 푸는 방법처럼 에너지 관점에서 문제를 풀 수 있게 된다.



즉, 일차원 관성좌표계의 운동에서 우변의 함수로 위치에 대한 힘을 받는 문제와 동일하게 된다.

양변을 r로 적분하면



따라서 우변을 새로운 포텐셜 에너지인 유효포텐셜(effective potential)로 정의할 수 있게 되었다.

이제 V_eff를 이용하여 r의 변화를 예측할 수 있다. 만유인력의 경우 아래와 같은 그래프가 되며

총에너지가 주어졌을때 r_min,r_max를 구할 수 있다.



E1이면 총 에너지가양수 unbounded되어 있는 궤도인 쌍곡선궤도를 가질 것이다.

E2=0또한 unbounded되어 있지만 정확히 경계점이므로 포물선궤도를 그릴 것이다.

혜성이 이 두 경우에 해당할 것이며 그래프를 이용하여 최대접근 거리를 알 수 있다.

E3의 경우 일반적인 행성의 궤도인 타원을 그리며 근일점 원일점의 거리를 그래프로 알 수 있다.

E4는 기초적인 문제에서 많이 다루는 원심력이 구심력과 평형을 이루며 원을 그리는 이상적인 경우이다.

그래프에서도 가능한 반지름이 하나로 결정된다.

Existence of Bound States

1차원 위에서 운동하는 입자의 해밀토니안이 다음과 같이 고전적인 형태로 주어졌을 때,

포텐셜에너지 V가 다음 조건을 만족하면 bound state가 최소 하나이상 존재함을 보이시오.

1) V(x)<0
2) x → ±[Inf] , V(x) → 0

해석역학(3) : 해밀토니안, 해밀턴 방정식

이야기를 하는김에 해밀턴 방정식까지 정리해놓아야 겠다.

사실 앞글에서 일반화 힘이나 운동량에 대해서 구속력이라든지 cyclic, 에너지함수 등을

얘기하려 했었지만 자세한 것은 나중에 기회가 되면 해야겠다.

우선 라그랑주역학체계에 대한 기본적인 것은 마쳤으니 문제가 될 건 없다.

우리는 라그랑지안을 이용하여 물체의 운동을 기술할 수 있다. 간단한 예제를 들어 실습을

해보는 게 스스로 이해했는지 확인해보는데 큰 도움이 된다.



이제 라그랑주역학에 대한 체계를 기본원리를 이해했다고 가정하고 해밀턴의 역학체계로 넘어가보자.

사실 수학적으로 보면 라그랑지안과 해밀토니안의 관계는 르장드르 변환 그 이상도 이하도 아니다.

변환이라는 말에서 라그랑지안 함수의 변수를 바꾸는 과정을 거쳐 해밀토니안이 된다.

그 변수는 무엇일까? 바로 일반화 속도 q'을 이전 장에서 정의한 p로 바꾸는 작업이다.

여기서 이전장에서의 일반화운동량과 다른점은 바로 p자체를 변수로 취급한다는 것이다.

이제 본격적으로 함수L의 변수를 바꾸어 보자.



운동량의 정의를 되새기며 L의 전미분을 써보자.

(앞으로 i에 대해서는 가능한 i에 대해 모두 더해야 올바른 식이라는 것을 주의하자. 시그마를 생략하였다.)



우변의 첫째항은 라그랑주 방정식의 결과를 이용하였다. 우리는 dq'이 아닌 dp를 원하는 것이므로 아래식을 대입하여 정리한다.





좌변의 괄호안의 함수는 오직 q,p,t의 변화들로만 변하므로 이를 해밀토니안으로 정의한다.



드디어 해밀토니안을 라그랑지안을 이용하여 정의하게 되었다.

여기서 또 주의할 점은 H가 q,p,t에 대한 함수라는 점이다. q'에는 직접적으로 연관되지 않는다.

하지만 정의식을 보자. 떡하니 q'이 첫항에 등장하며 심지어 L도 q'에 관련된 함수아닌가?라는 의문을 가질 수 있다.

하지만 두개의 항에 포함된 q'이 서로 적절히 영향을 미쳐 q'의 변화의 의한 영향을 상쇄시킨다.

이를 H를 정의하기 위해서 했던 식 전개과정이 수학적으로 보장한다.

즉 H의 값은 q'이 변화에 대해서 변하지 않아 q'에 대해 상수가 되고

q'은 있으나 마나한 변수가 되어 쉽게 제거할 수 있는것이다.

H가 q'에 의존하지 않는다는 사실을 알았지만 실질적으로 H를 q,p,t를 이용하여 나타내야 하는 경우가 있을 것이다.

이런 경우 p의 정의식들을 살펴보면 q,q',t에 대한 함수로써 p가 주어진다는 것을 볼 수 있다.

이를 연립하여 q'을 p,q,t를 이용하여 나타낼 수 있을 것이다. 물론 이런 역함수가 존재하느냐 안하느냐는

또 다른 수학적 문제이지만 우리가 보통 다루는 물리계에서 주어진 함수들로는 항상 가능하다.
(사실 확실한것은 아니고 그렇지 않은 경우를 지금까지 본 적이 없다.)



이제 H를 정의하였다. 이 L에서 H를 만들어낸 과정을 르장드르 변환이라고 한다.

이제 H를 이용한 운동방정식을 나타내보자. H의 전미분을 비교해보면



등식이 성립하기 위해서는 다음과 같이 i의 개수에 2배 +1만큼의 새로운 식을 만족하게 된다.







이렇게 얻은 식들이 바로 해밀턴 방정식으로써 해밀토니안을 이용한 물체의 운동방정식이다.

첫번째 식은 운동량의 정의와 동치인 식을 나타낸다. 르장드르 변환의 관점에서보면 역변환이 자기 자신인 L이 되는 것이다.

두번째 식은 좌변이 라그랑주방정식을 이용하여 얻은 결과이므로 라그랑주방정식과 동치인 식이 된다.

사실 해밀토니안 함수 H는 에너지에 해당하는 물리량을 나타낸다. 만약 L이 시간과 직접적인 연관이 없다면,

(L의 t에 대한 편미분이 0이라면)H는 시간에 대한 상수가 된다는 것을 어렵지 않게 보일 수 있다.

즉 에너지가 보존된다는 결론이 된다. 이를 보이는 것은 연습문제로써 남겨두며 직접해보길 바란다.

해석역학(2) : 라그랑주 방정식

다시 물체의 운동방정식문제로 돌아와 보자.

실제 문제를 풀기위해 모든 상황에 대해서 모든 경로에 대해서 작용값을 계산해 보고 있을수는 없는 노릇이다.

약간의 수학적 변형을 통해서 뉴턴의 운동방정식과 비슷한 형태의 직접적인 미분방정식을 얻어내어 보자.

보통 함수값이 최대, 최소가 되는 지점을 찾는 문제는 도함수의 근을 찾는 문제로 생각할 수 있다.

물론 작용이 미분이 0이 되는 해를 가지지 않는다거나 미분이 0인지점에서최소가 아닌 최대값을 가질 수도 있지만

우선은 이런 문제점을 걱정할 필요는 없다. 미분이0인 경로는 유일하게 하나로 존재하며 작용은 최소값이 된다 가정하자.

또 다른 문제점이 있는데 작용의 변수는 우리가 보통 다루던 여러개의 실수가 아닌 무한개의 실수로 이루언진 경로(함수)다.

그렇다면 작용의 미분은 어떻게 정의하는가?

이러한 함수의 미분을 크로네커-델타 표기법을 이용하여 나타낼 수 있다. 이 표기의 수학적인 정의는 제쳐두고

우선 정해진 경로에 대해서 아주 약간 경로를 변형시켰을때의 함수의 차이값이라고 직관적으로 생각하면 된다.

최소작용의 원리는 크로네커-델타를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.



좌변을 변형하자. 델타를 적분기호 안으로 밀어넣으면



     (시그마는 가능한 i에 대해서 모두 더하겠다는 의미이다.)



처음과 끝점은 고정되어 있으므로 δq_i의 값이 처음과 끝에서는 0이 되어 우변의 첫번째 항은 0이 되어 사라진다.

이를 대입하면



가 되고 최소작용의 원리에 따라 이 값은  δq_i에 관계없이 항상 0이어야 하므로

가능한 모든 i에 대해서 괄호안의 값이 0이되어야 한다.

따라서 우리는 일반화 좌표계로 표현한 물체의 운동방정식을 라그랑지안을 이용하여 표현하였다.



이를 보통 라그랑주 방정식이라 부른다.

일반화 좌표를 데카르트 직각좌표계로 잡고 원래의 정의 L=T-V를 생각해보면

첫번째항은 운동량의 시간에 대한 미분

두번째항은 물체에 작용하는 힘이 되어

기존의 뉴턴 운동방정식이 된다는 것을 확인할 수 있다.

굳이 데카르트 좌표를 취하지 않더라도 원래의 뉴턴방정식과 유사하다는 것을 알 수 있다.

따라서 보통 첫번째항의 시간미분을 제외한 부분을 일반화 운동량,

두 번째 항을 일반화 힘이라 부른다.



이렇게 정의하고 보면 (운동량의 시간미분)=(힘)이 되어 기존의 뉴턴방정식과 동일한 형태임이 더 잘보인다.

이 운동량과 힘에대해서 자세한 이야기는 다음글에서 이어나가도록 하겠다.

해석역학 (1) : 라그랑지안(Lagrangian)

지금까지 공부한걸 정리해볼 필요성이 있는것 같아 정리해보고자 하자

우선 라그랑지안에 대해서 정의하기 전에 뉴턴역학의 구조부터 생각해보자.



이것이 뉴턴역학의 기본적인 운동방정식으로 질량이 시간에 따라 변하지 않는 경우 우리가 흔히 아는 F=ma가 된다.

이 식에서 F,p,a는 벡터로써 보통 3차원 직교좌표계로 표현한다.

하지만 여러 물리계의 경우 직교좌표계가 아닌 극좌표나 상황에 맞는 좌표계를 선택하는 것이 편리할 수도 있다.

이러한 임의의 좌표계를 일반화좌표계라고 한다. 대표적인 예로 진자의 2차원위에서의 운동을 생각해 보자


물체의 위치는 물체의 각도 θ와 줄의 길이 L 이 두가지 정보에 의해서 결정된다.

즉 기존의 직교좌표계 (x,y)가 아닌 두 수를 (L,θ)로 묶어 씀으로써 위치를 나타낼 수 있게되고

이는 우리가 흔히 알고있는 극좌표계가 되는 것이다.

즉, 일반화좌표는 우리가 임의대로 선택한 좌표계가 보통 q로 표기한다.



3차원의 경우 i=1,2,3인 경우를 가진다.



그렇다면 이제 일반화좌표계를 이용하여 물체의 위치를 나타낼때의 운동방정식은 어떻게 되는가?

최소작용의 원리에 대해서 들어봤을지는 모르지만 이러한 일반화 좌표의 경우에는

최소작용의 원리를 이용하여 물체의 운동경로를 알아낼 수 있는 즉, 물체의 운동방정식을 얻을 수 있다.

하지만 작용이 무엇인가? 새로운 물리량인가?

우선 작용의 정의를 알아야지만 최소작용의 원리가 의미하는 바를 이해할 수 있을것이다.

하지만 이 글의 제목은 라그랑지안인데 왜 작용이 나오는가.

사실 작용이란 라그랑지안으로부터 정의되는 양이다. 그렇다면 우선 라그랑지안을 정의해보자.



물체의 운동이라 함은 좌표계의 시간에 따른 변화가 되고 이 값또한 물체의 운동에 관여하는 변수가 된다.

     (위에 점을 찍는 것은 시간에 대한 미분이라는 표기법이다.)

이 변수들을 이용하여 라그랑지안을 다음과 같이 정의한다.



T는 운동에너지 V는 위치에너지에 해당하며 여기서 중요한 점은 L이 특정한 값을

나타내는 것이 아니라 물체의 운동상태에 대한 함수라는 점이다.

이렇게 정의한 라그랑지안을 이용하여 작용을 정의하자.



식의 의미를 살펴보면 시작점과 끝점 i,f가 정해져 있을때 작용 S는 물체의 운동경로에 따른 함수가 된다.

시간에 따른 운동경로 q_i(t)가 주어져 있다면 q'_i(t)가 결정되고 라그랑지안이 순수히 시가에 의한 함수가 된다.

이를 적분한 값이 작용 S가 되고 따라서 작용이란 물체의 운동경로를 정의역으로 하는 함수가 된다.

그리고 우리가 접하게 되는 최소작용의 원리를 사용할 수 있게 된다!

최소작용의 원리란 말 그대로 물체는 작용이 최소가 되는 운동경로를 취한다는 것이다.



최소작용의 원리로부터 물체의 실질적인 운동방정식인 라그랑주 방정식을 얻어내기 전에

최소작용이 가지는 물리적 의미를 짚고 넘어가자.

이부분은 약간 원론적인 이야기 이므로 관심없는 사람은 다음글 해석역학(2)로 넘어가면 된다.



최소작용의 원리는 왜 성립하는가? 왜 하필 저렇게 괴상하게 정의한 함수가 최소가되는 경로를 취하는가?

뉴턴의 운동방정식은 직관적으로 받아들이기 쉽다. 힘(F)을 받는 방향으로 운동이 변한다!(=dp/dt)

해석역학을 처음 접하는 사람이라면 뉴턴의 운동방정식 만큼 작용원리가 잘 와닿지 않기 때문에

작용원리에 대한 의구심을 가질 수 있다. 하지만 나는 이렇게 되묻고 싶다. 뉴턴의법칙은 왜 성립하는가?

뉴턴의 법칙은 정말로 왜 성립하는가? 어쩌면 F=ma를 힘의 정의로써 볼 수도 있다.

힘이란 길이, 시간만큼이나 직관적인 물리량은 아니며 F=ma로써 정의한 뒤

우리는 상황에 맞게 식을 만족하는 물체에 작용하는 힘 F를 찾아내는 것이다. 마치 뉴턴이 제시한 만유인력처럼 말이다.

놀라운 점은 이런 F가 고전이론에서 잘 정의되며 이런 물리량들이 수학적인 벡터합을 만족한다는 것이다.

최소작용의 원리에도 똑같은 관점을 적용할 수 있다. 작용의 정의를 거슬러 올라가면 운동에너지와 위치에너지가 나온다.

하지만 자연에 운동에너지와 위치에너지라는 식이 물체마다 명쾌하게 씌여져 있어서 식에 바로 대입하는 것은 아니다.

상황에 맞게 사람들이 식이 성립하도록 정의하는 것이다. 우리가 감탄할 수 있는 것은

이를 만족하는 위치에너지와 운동에너지가 상황마다 잘 정의된다는 것이다.

이름이 원리인 만큼 이는 꽤나 근본적인 것이며 성립한다는 사실을 수학적으로 증명해내 보일수는 없다.

하지만 경험적으로는 정확한 원리이며 오히려 힘이 잘 정의되지 않는 양자역학에서는 뉴턴의 운동방정식보다도 유용하다.

하지만 아직 찜찜한 부분이 있다. 우리가 관찰하는 현상은 하나인데

물체의 운동을 결정하는 방법이 두가지인것 아닌가? 만약 두가지 방법이 다른 결과를 내놓는다면 어떻게 되는가?

물론 이런 상황은 발생하지 않는다. 의심이 간다면 후에 어렵지않게 이 두 방법이 수학적으로 동치라는 것은 보일 수 있다.

즉, F=ma가 잘 성립하는 만큼 최소작용의 원리도 성립한다는것은 증명할 수 있다.



이 법칙의 타당성을 벗어나 한가지 더 얘기하고 싶은 철학적 관점이 있다.

이는 자연을 바라보는 관점의 차이가 뉴턴과 최소작용의 원리에 있다는 것이다.

뉴턴의 관점은 이렇다.

//음 물체가 이만큼의 힘을 받는군.

//=> F=ma에 따라 물체는 t초후 저기에 가 있겠군!

이는 물체의 운동의 원인을 힘으로써 설명하는 원인과 결과가 명백한 인과론적인 관점이다.

하지만 최소작용의 원리의 관점은 이렇다.

//처음에 물체가 A에 있다가 t초후에 B에 도착했어 중간과정은 0.5t초에는 어디 있었던 거지?

//이렇게 움직여 도착한거면 작용은 어떻게 되지?

//좀 큰데?.... 경로를 약간 이렇게 수정하면 어떨까. 음... 훨씬 났군

//주변모든 경로보다 작은 값이니까 이게 작용이 가질수 있는 최소값이군!

//따라서 물체는 이런 경로를 따라서 도착한거니까 0.5t초에는 저기 있었네.

물체의 운동경로가 어떤 원인에 의해서 결정되는 것이 아니라 작용의 최소라는 목적을 달성하기 위한 수단이 된다.

즉, 이는 목적론적 관점이 되는 것이다.

수학적으로는 두 개념이 동일하지만 물리적인 의미와 자연을 관찰하는 태도에 대해서 이 둘은 위와 같은 차이가 있다.

양자역학의 상태벡터의 정보량

양자역학에서는 힐베르트 공간의 한점으로써 물리계의 상태를 나타낸다.

에너지 고유켓을 basis로 잡을때 에너지가 양자화 되어 basis의 개수가

자연수개수가 된다. 이는 모든 에너지를 basis로 잡은뒤 델타함수를 이용하여

가능한 에너지준위에만 무한대의 진폭을 띄는 것을 볼 수 있다.

일반적인 파동함수의 경우에도 기저의 집합은 실수집합과 동일한 크기를 가진다.

토어의 기수법을 이용하여 N_1(알레프-1)이라 표기하겠

그렇다면 어떠한 상황에서도 힐베르트 공간의 차원이 N_2이거나

그 이상을 필요로 하는 상황은 존재하지 않는가?

N_0일때는 시그마 노테이션을 이용하여 합을 나타내고

N_1일때는 적분을 이용한다.

그렇다면 순수히 수학적인 문제로 넘어와

N_2 또는 그이상의 크기의 집합을 정의역으로 가지는 함수의 적분은 어떻게 확장되는가.