해석역학(3) : 해밀토니안, 해밀턴 방정식

이야기를 하는김에 해밀턴 방정식까지 정리해놓아야 겠다.

사실 앞글에서 일반화 힘이나 운동량에 대해서 구속력이라든지 cyclic, 에너지함수 등을

얘기하려 했었지만 자세한 것은 나중에 기회가 되면 해야겠다.

우선 라그랑주역학체계에 대한 기본적인 것은 마쳤으니 문제가 될 건 없다.

우리는 라그랑지안을 이용하여 물체의 운동을 기술할 수 있다. 간단한 예제를 들어 실습을

해보는 게 스스로 이해했는지 확인해보는데 큰 도움이 된다.



이제 라그랑주역학에 대한 체계를 기본원리를 이해했다고 가정하고 해밀턴의 역학체계로 넘어가보자.

사실 수학적으로 보면 라그랑지안과 해밀토니안의 관계는 르장드르 변환 그 이상도 이하도 아니다.

변환이라는 말에서 라그랑지안 함수의 변수를 바꾸는 과정을 거쳐 해밀토니안이 된다.

그 변수는 무엇일까? 바로 일반화 속도 q'을 이전 장에서 정의한 p로 바꾸는 작업이다.

여기서 이전장에서의 일반화운동량과 다른점은 바로 p자체를 변수로 취급한다는 것이다.

이제 본격적으로 함수L의 변수를 바꾸어 보자.



운동량의 정의를 되새기며 L의 전미분을 써보자.

(앞으로 i에 대해서는 가능한 i에 대해 모두 더해야 올바른 식이라는 것을 주의하자. 시그마를 생략하였다.)



우변의 첫째항은 라그랑주 방정식의 결과를 이용하였다. 우리는 dq'이 아닌 dp를 원하는 것이므로 아래식을 대입하여 정리한다.





좌변의 괄호안의 함수는 오직 q,p,t의 변화들로만 변하므로 이를 해밀토니안으로 정의한다.



드디어 해밀토니안을 라그랑지안을 이용하여 정의하게 되었다.

여기서 또 주의할 점은 H가 q,p,t에 대한 함수라는 점이다. q'에는 직접적으로 연관되지 않는다.

하지만 정의식을 보자. 떡하니 q'이 첫항에 등장하며 심지어 L도 q'에 관련된 함수아닌가?라는 의문을 가질 수 있다.

하지만 두개의 항에 포함된 q'이 서로 적절히 영향을 미쳐 q'의 변화의 의한 영향을 상쇄시킨다.

이를 H를 정의하기 위해서 했던 식 전개과정이 수학적으로 보장한다.

즉 H의 값은 q'이 변화에 대해서 변하지 않아 q'에 대해 상수가 되고

q'은 있으나 마나한 변수가 되어 쉽게 제거할 수 있는것이다.

H가 q'에 의존하지 않는다는 사실을 알았지만 실질적으로 H를 q,p,t를 이용하여 나타내야 하는 경우가 있을 것이다.

이런 경우 p의 정의식들을 살펴보면 q,q',t에 대한 함수로써 p가 주어진다는 것을 볼 수 있다.

이를 연립하여 q'을 p,q,t를 이용하여 나타낼 수 있을 것이다. 물론 이런 역함수가 존재하느냐 안하느냐는

또 다른 수학적 문제이지만 우리가 보통 다루는 물리계에서 주어진 함수들로는 항상 가능하다.
(사실 확실한것은 아니고 그렇지 않은 경우를 지금까지 본 적이 없다.)



이제 H를 정의하였다. 이 L에서 H를 만들어낸 과정을 르장드르 변환이라고 한다.

이제 H를 이용한 운동방정식을 나타내보자. H의 전미분을 비교해보면



등식이 성립하기 위해서는 다음과 같이 i의 개수에 2배 +1만큼의 새로운 식을 만족하게 된다.







이렇게 얻은 식들이 바로 해밀턴 방정식으로써 해밀토니안을 이용한 물체의 운동방정식이다.

첫번째 식은 운동량의 정의와 동치인 식을 나타낸다. 르장드르 변환의 관점에서보면 역변환이 자기 자신인 L이 되는 것이다.

두번째 식은 좌변이 라그랑주방정식을 이용하여 얻은 결과이므로 라그랑주방정식과 동치인 식이 된다.

사실 해밀토니안 함수 H는 에너지에 해당하는 물리량을 나타낸다. 만약 L이 시간과 직접적인 연관이 없다면,

(L의 t에 대한 편미분이 0이라면)H는 시간에 대한 상수가 된다는 것을 어렵지 않게 보일 수 있다.

즉 에너지가 보존된다는 결론이 된다. 이를 보이는 것은 연습문제로써 남겨두며 직접해보길 바란다.