Central Force Problem : Effective Potential (유효 포텐셜)

이 부분은 한국어책으로 공부한적이 없어서 한국어 용어를 잘 모르겠다.

Effective potential이 한국어로 유효포텐셜인가? 그럴 것이다.(아마도)



사실 예전에 고전역학은 힘들의 규칙과 뉴턴의 운동법칙으로 끝이라고 생각했었다.

미방을 세우고 그 미방을 푸는건 전적으로 지루한 또는 컴퓨터가 대신해줄 일이라 생각에 그랬던 것 같다.

그래서 그런지 Goldstein의 고전역학 책이 어렵다는 얘기를 들으면서 무슨 고전역학에 대해서

할 수 있는 말이 저렇게 많은가? 심지어 어렵다고?라고 생각했던 기억이난다.

(지금 다시 생각해봐도 Goldstein책은 솔직히 고전적이지 않은 내용들이 꽤 많이 나온다.)

하지만 그 미방을 푸는 방법에도 상황에 따른, 수학 이상으로 물리적으로도 의미가 충분히 있는,

그런 방법이 있다는 것을 알게 되었다. 특히나 라그랑주나 달랑베르 해밀턴이 구축한 역학체계는

완전히 새로운 것이라 말할 정도이다. 항상 이들이 가진 자연에대한 근본적인 통찰력에 감탄하지 않을 수 없다.

내가 만약 그 시대 사람이었다면 나는 '최소작용의 원리'같은건 생각지 못하고 뉴턴의 체계에

갇힌 물리적 사고만 했을 것이다. 이러한 체계적 문제말고도 물리적 센스로 미방을 푸는 테크닉들이

있다는 것도 배웠다. 그 중에 하나가 중심력이 작용하는 물체에 대한 운동을 기술할때의 유효포텐셜이다.



사실은 central force부분은 제대로 읽어본 적도 없으며 책넘기면서 effective potential 그래프랑 이름을 본게 전부다.

이 글을 쓰는 이유는 자다 일어났더니 갑자기 구심력이 작용하는 물체의 운동을 기술할 수 있는 좋은 아이디어가 생각났는데

그 아이디어가 만드는 결과를 생각하다보니 그래프가 책을 넘기면서 보던 effective potential그래프와 동일하더라.

그래서 책을 뒤져보니 내아이디어가 정확히 central force의 개념과 일치했고 이 놀라움을

글로 남기고 싶어 글을쓴다.



얘기가 너무 많이 새서 사실 수식적으로는 별 내용없는데 본 내용보다 잡소리가 더 길어진 것 같다.

이제 유효포텐셜에 대해서 알아보자.

우선 기본 상황의 가정은 포텐셜이 V(r)로 주어진 물체의 운동이다.

회전반지름 r이 만족하는 운동방정식은 다음과 같다.



즉, 작용하는 힘은 원심력과 포텐셜에 의한 힘뿐이다. 또는 극좌표의 라그랑주 방정식으로 봐도 된다.

일반물리학 수업을 들을 때, 책의 연습문제중에 고리를 막대에 끼운뒤 막대의 한쪽끝을 회전중심으로

막대 방향과 수직한 방향의 각운동량을 가지도록 일정한 각속도로 회전시키면서 고리의 속도를 구하는 문제가 있었다.

이 때 막대의 축을따라 작용하는 원심력이 일을 하는 것으로 생각하여 문제를 풀 수 있었다.

그 때와 지금의 다른 점은 그 때는 각속도가 일정했지만 지금은 시간에 따라 변한다는 것이다.

하지만 각속도는 각운동량을 보존하게끔 변한다. 즉, 초기 운동량을 J라고 한다면 다음 식을 만족한다.



물론 J는 상수이다. 이를 라그랑주 두번째 방정식의 결과로 봐도 된다.

각속도란 시간에 대한 함수이지만 시간에 대한 또다른 함수인 반지름을 이용하여 표현된다.

따라서 이를 이용하면 이전의 연습문제를 푸는 방법처럼 에너지 관점에서 문제를 풀 수 있게 된다.



즉, 일차원 관성좌표계의 운동에서 우변의 함수로 위치에 대한 힘을 받는 문제와 동일하게 된다.

양변을 r로 적분하면



따라서 우변을 새로운 포텐셜 에너지인 유효포텐셜(effective potential)로 정의할 수 있게 되었다.

이제 V_eff를 이용하여 r의 변화를 예측할 수 있다. 만유인력의 경우 아래와 같은 그래프가 되며

총에너지가 주어졌을때 r_min,r_max를 구할 수 있다.



E1이면 총 에너지가양수 unbounded되어 있는 궤도인 쌍곡선궤도를 가질 것이다.

E2=0또한 unbounded되어 있지만 정확히 경계점이므로 포물선궤도를 그릴 것이다.

혜성이 이 두 경우에 해당할 것이며 그래프를 이용하여 최대접근 거리를 알 수 있다.

E3의 경우 일반적인 행성의 궤도인 타원을 그리며 근일점 원일점의 거리를 그래프로 알 수 있다.

E4는 기초적인 문제에서 많이 다루는 원심력이 구심력과 평형을 이루며 원을 그리는 이상적인 경우이다.

그래프에서도 가능한 반지름이 하나로 결정된다.