해석역학(2) : 라그랑주 방정식

다시 물체의 운동방정식문제로 돌아와 보자.

실제 문제를 풀기위해 모든 상황에 대해서 모든 경로에 대해서 작용값을 계산해 보고 있을수는 없는 노릇이다.

약간의 수학적 변형을 통해서 뉴턴의 운동방정식과 비슷한 형태의 직접적인 미분방정식을 얻어내어 보자.

보통 함수값이 최대, 최소가 되는 지점을 찾는 문제는 도함수의 근을 찾는 문제로 생각할 수 있다.

물론 작용이 미분이 0이 되는 해를 가지지 않는다거나 미분이 0인지점에서최소가 아닌 최대값을 가질 수도 있지만

우선은 이런 문제점을 걱정할 필요는 없다. 미분이0인 경로는 유일하게 하나로 존재하며 작용은 최소값이 된다 가정하자.

또 다른 문제점이 있는데 작용의 변수는 우리가 보통 다루던 여러개의 실수가 아닌 무한개의 실수로 이루언진 경로(함수)다.

그렇다면 작용의 미분은 어떻게 정의하는가?

이러한 함수의 미분을 크로네커-델타 표기법을 이용하여 나타낼 수 있다. 이 표기의 수학적인 정의는 제쳐두고

우선 정해진 경로에 대해서 아주 약간 경로를 변형시켰을때의 함수의 차이값이라고 직관적으로 생각하면 된다.

최소작용의 원리는 크로네커-델타를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.



좌변을 변형하자. 델타를 적분기호 안으로 밀어넣으면



     (시그마는 가능한 i에 대해서 모두 더하겠다는 의미이다.)



처음과 끝점은 고정되어 있으므로 δq_i의 값이 처음과 끝에서는 0이 되어 우변의 첫번째 항은 0이 되어 사라진다.

이를 대입하면



가 되고 최소작용의 원리에 따라 이 값은  δq_i에 관계없이 항상 0이어야 하므로

가능한 모든 i에 대해서 괄호안의 값이 0이되어야 한다.

따라서 우리는 일반화 좌표계로 표현한 물체의 운동방정식을 라그랑지안을 이용하여 표현하였다.



이를 보통 라그랑주 방정식이라 부른다.

일반화 좌표를 데카르트 직각좌표계로 잡고 원래의 정의 L=T-V를 생각해보면

첫번째항은 운동량의 시간에 대한 미분

두번째항은 물체에 작용하는 힘이 되어

기존의 뉴턴 운동방정식이 된다는 것을 확인할 수 있다.

굳이 데카르트 좌표를 취하지 않더라도 원래의 뉴턴방정식과 유사하다는 것을 알 수 있다.

따라서 보통 첫번째항의 시간미분을 제외한 부분을 일반화 운동량,

두 번째 항을 일반화 힘이라 부른다.



이렇게 정의하고 보면 (운동량의 시간미분)=(힘)이 되어 기존의 뉴턴방정식과 동일한 형태임이 더 잘보인다.

이 운동량과 힘에대해서 자세한 이야기는 다음글에서 이어나가도록 하겠다.