지금까지 공부한걸 정리해볼 필요성이 있는것 같아 정리해보고자 하자
우선 라그랑지안에 대해서 정의하기 전에 뉴턴역학의 구조부터 생각해보자.
이것이 뉴턴역학의 기본적인 운동방정식으로 질량이 시간에 따라 변하지 않는 경우 우리가 흔히 아는 F=ma가 된다.
이 식에서 F,p,a는 벡터로써 보통 3차원 직교좌표계로 표현한다.
하지만 여러 물리계의 경우 직교좌표계가 아닌 극좌표나 상황에 맞는 좌표계를 선택하는 것이 편리할 수도 있다.
이러한 임의의 좌표계를 일반화좌표계라고 한다. 대표적인 예로 진자의 2차원위에서의 운동을 생각해 보자
물체의 위치는 물체의 각도 θ와 줄의 길이 L 이 두가지 정보에 의해서 결정된다.
즉 기존의 직교좌표계 (x,y)가 아닌 두 수를 (L,θ)로 묶어 씀으로써 위치를 나타낼 수 있게되고
이는 우리가 흔히 알고있는 극좌표계가 되는 것이다.
즉, 일반화좌표는 우리가 임의대로 선택한 좌표계가 보통 q로 표기한다.
3차원의 경우 i=1,2,3인 경우를 가진다.
그렇다면 이제 일반화좌표계를 이용하여 물체의 위치를 나타낼때의 운동방정식은 어떻게 되는가?
최소작용의 원리에 대해서 들어봤을지는 모르지만 이러한 일반화 좌표의 경우에는
최소작용의 원리를 이용하여 물체의 운동경로를 알아낼 수 있는 즉, 물체의 운동방정식을 얻을 수 있다.
하지만 작용이 무엇인가? 새로운 물리량인가?
우선 작용의 정의를 알아야지만 최소작용의 원리가 의미하는 바를 이해할 수 있을것이다.
하지만 이 글의 제목은 라그랑지안인데 왜 작용이 나오는가.
사실 작용이란 라그랑지안으로부터 정의되는 양이다. 그렇다면 우선 라그랑지안을 정의해보자.
물체의 운동이라 함은 좌표계의 시간에 따른 변화가 되고 이 값또한 물체의 운동에 관여하는 변수가 된다.
(위에 점을 찍는 것은 시간에 대한 미분이라는 표기법이다.)
이 변수들을 이용하여 라그랑지안을 다음과 같이 정의한다.
T는 운동에너지 V는 위치에너지에 해당하며 여기서 중요한 점은 L이 특정한 값을
나타내는 것이 아니라
물체의 운동상태에 대한
함수라는 점이다.
이렇게 정의한 라그랑지안을 이용하여 작용을 정의하자.
식의 의미를 살펴보면 시작점과 끝점 i,f가 정해져 있을때 작용 S는
물체의 운동경로에 따른
함수가 된다.
시간에 따른 운동경로 q_i(t)가 주어져 있다면 q'_i(t)가 결정되고 라그랑지안이 순수히 시가에 의한 함수가 된다.
이를 적분한 값이 작용 S가 되고 따라서 작용이란 물체의 운동경로를 정의역으로 하는 함수가 된다.
그리고 우리가 접하게 되는 최소작용의 원리를 사용할 수 있게 된다!
최소작용의 원리란 말 그대로 물체는 작용이 최소가 되는 운동경로를 취한다는 것이다.
최소작용의 원리로부터 물체의 실질적인 운동방정식인 라그랑주 방정식을 얻어내기 전에
최소작용이 가지는 물리적 의미를 짚고 넘어가자.
이부분은 약간 원론적인 이야기 이므로 관심없는 사람은 다음글 해석역학(2)로 넘어가면 된다.
최소작용의 원리는 왜 성립하는가? 왜 하필 저렇게 괴상하게 정의한 함수가 최소가되는 경로를 취하는가?
뉴턴의 운동방정식은 직관적으로 받아들이기 쉽다. 힘(F)을 받는 방향으로 운동이 변한다!(=dp/dt)
해석역학을 처음 접하는 사람이라면 뉴턴의 운동방정식 만큼 작용원리가 잘 와닿지 않기 때문에
작용원리에 대한 의구심을 가질 수 있다. 하지만 나는 이렇게 되묻고 싶다. 뉴턴의법칙은 왜 성립하는가?
뉴턴의 법칙은 정말로 왜 성립하는가? 어쩌면 F=ma를 힘의
정의로써 볼 수도 있다.
힘이란 길이, 시간만큼이나 직관적인 물리량은 아니며 F=ma로써 정의한 뒤
우리는 상황에 맞게 식을 만족하는 물체에 작용하는 힘 F를 찾아내는 것이다. 마치 뉴턴이 제시한 만유인력처럼 말이다.
놀라운 점은 이런 F가 고전이론에서 잘 정의되며 이런 물리량들이 수학적인 벡터합을 만족한다는 것이다.
최소작용의 원리에도 똑같은 관점을 적용할 수 있다. 작용의 정의를 거슬러 올라가면 운동에너지와 위치에너지가 나온다.
하지만 자연에 운동에너지와 위치에너지라는 식이 물체마다 명쾌하게 씌여져 있어서 식에 바로 대입하는 것은 아니다.
상황에 맞게 사람들이 식이 성립하도록
정의하는 것이다. 우리가 감탄할 수 있는 것은
이를 만족하는 위치에너지와 운동에너지가 상황마다 잘 정의된다는 것이다.
이름이 원리인 만큼 이는 꽤나 근본적인 것이며 성립한다는 사실을 수학적으로 증명해내 보일수는 없다.
하지만 경험적으로는 정확한 원리이며 오히려 힘이 잘 정의되지 않는 양자역학에서는 뉴턴의 운동방정식보다도 유용하다.
하지만 아직 찜찜한 부분이 있다. 우리가 관찰하는 현상은 하나인데
물체의 운동을 결정하는 방법이 두가지인것 아닌가? 만약 두가지 방법이 다른 결과를 내놓는다면 어떻게 되는가?
물론 이런 상황은 발생하지 않는다. 의심이 간다면 후에 어렵지않게 이 두 방법이 수학적으로 동치라는 것은 보일 수 있다.
즉, F=ma가 잘 성립하는 만큼 최소작용의 원리도 성립한다는것은 증명할 수 있다.
이 법칙의 타당성을 벗어나 한가지 더 얘기하고 싶은 철학적 관점이 있다.
이는 자연을 바라보는 관점의 차이가 뉴턴과 최소작용의 원리에 있다는 것이다.
뉴턴의 관점은 이렇다.
//음 물체가 이만큼의 힘을 받는군.
//=> F=ma에 따라 물체는 t초후 저기에 가 있겠군!
이는 물체의 운동의 원인을 힘으로써 설명하는 원인과 결과가 명백한 인과론적인 관점이다.
하지만 최소작용의 원리의 관점은 이렇다.
//처음에 물체가 A에 있다가 t초후에 B에 도착했어 중간과정은 0.5t초에는 어디 있었던 거지?
//이렇게 움직여 도착한거면 작용은 어떻게 되지?
//좀 큰데?.... 경로를 약간 이렇게 수정하면 어떨까. 음... 훨씬 났군
//주변모든 경로보다 작은 값이니까 이게 작용이 가질수 있는 최소값이군!
//따라서 물체는 이런 경로를 따라서 도착한거니까 0.5t초에는 저기 있었네.
물체의 운동경로가 어떤 원인에 의해서 결정되는 것이 아니라 작용의 최소라는 목적을 달성하기 위한 수단이 된다.
즉, 이는 목적론적 관점이 되는 것이다.
수학적으로는 두 개념이 동일하지만 물리적인 의미와 자연을 관찰하는 태도에 대해서 이 둘은 위와 같은 차이가 있다.
(시그마는 가능한 i에 대해서 모두 더하겠다는 의미이다.)
