기하문제(1)

한변의 길이가1인 정사면체 ABCD가 있다.
점 A에서 △BCD로 내린 수선의 발을 H라 하자.
선분 BC,CD,DB에 평행하지 않으며 선분AH를 포함하는 임의의 평면 S를 생각하자.
평면 S와 선분BC,CD,DB(또는 선분의 연장선)의 교점을 각각 P,Q,R이라하고
선분 AP,AQ,AR이 △BCD의 연장평면과 이루는 각도를 a,b,c라 하자.
이 때 tan²a+tan²b+tan²c=12 임을 보이시오.


사실 답이 주어져 있기 때문에 답의 결과가 맞다는 사실을 굳게 믿으면 그렇게 어렵지 않게 풀 수 있다. 하지만 결과가 주어지지 않은 상태에서 저런 사실을 유추해낼 수 있을까? 그 결과가 신기해서 올려본다.